不难发现问题等价于：把每棵树划分成若干条链，把这些链拿来做圆排列，要求相邻的链不能来自同一棵树，求方案数。
假设我们已经把每棵树划分成了若干条链，并且确定好了链在圆排列中出现的方向（长度大于 $1$ 的链有两种可能的方向），求圆排列方案数。假设此时第 $i$ 棵树的点划分成了 $A_i$ 条链。
把环断开为序列，钦定序列的开头为第一棵树的 $1$ 号点所在的链。我们对序列的要求是：
- 相邻的两条链不能来自同一棵树
- 结尾的链不能来自第一棵树
首先我们确定每棵树内的点在序列中的相对顺序（也就是最终答案乘上 $(A_1 - 1)! \prod_{i=2}^m A_i!$）。
如果没有上面两个限制，方案数就是 $\frac{(\sum A_i -1)!}{(A_1 - 1)!\prod_{i=2}^m A_i!}$。
对于上面的两个限制，钦定一些同一棵树中相对顺序相邻的链粘在一起（或者钦定第一棵树中相对顺序在最右边的和序列的结尾粘在一起）进行容斥即可。
把方案数中的 $\frac{1}{(A_1 - 1)! \prod_{i=2}^m A_i! }$ 下放到每个 $A_i$ 头上（也就是在我们确定 $A_i$ 的时候就乘上相应的系数），那么计算总方案数就只需要知道 $\sum A_i$。把 $\sum A_i$ 作为状态进行 dp（或者把 $\sum A_i$ 作为生成函数的指数进行卷积）即可。
总时间复杂度 $O((\sum k_i)^2 )$。