设初始状态中，每一堆的石子个数分别$\{a_1,a_2,a_3\cdots a_n\}$。则先手获胜的充要条件是$a_1\bigoplus a_2\bigoplus a_3\bigoplus\cdots a_n \neq 0$。
证明：
- 终止状态满足$a_1\bigoplus a_2\bigoplus a_3\bigoplus\cdots a_n=0$。
- 每一个$a_1\bigoplus a_2\bigoplus a_3\bigoplus\cdots a_n=0$的状态，都只能够转移到$a_1\bigoplus a_2\bigoplus a_3\bigoplus\cdots a_n\neq 0$的状态。因为假设操作后$a_1\bigoplus a_2\bigoplus a_3\bigoplus\cdots a_n$仍然是$0$，则有$a_1\bigoplus a_2\bigoplus a_3\bigoplus\cdots a_i\bigoplus \cdots a_n = a_1\bigoplus a_2\bigoplus a_3\bigoplus\cdots a_i ‘\bigoplus \cdots a_n$，则$a_i = a_i’$，推出矛盾。
- 每一个$a_1\bigoplus a_2\bigoplus a_3\bigoplus\cdots a_n\neq 0$的状态，都可以转移到$a_1\bigoplus a_2\bigoplus a_3\bigoplus\cdots a_n=0$的状态。因为假设$a_1\bigoplus a_2\bigoplus a_3\bigoplus\cdots a_n=k$，，设$k$二进制下最高的为$1$的位是$p$，那么$a_1,a_2\cdots a_n$中一定存在一个数$a_i$满足$a_i$的第$p$位是$1$，从而我们可以推出$a_i \bigoplus k < a_i$（高于第$p$位的不变，第$p$位从$1$变成了$0$），将$a_i$改成$a_i \bigoplus k$即可。