矩阵乘法结合律、分配律的证明

结合律

矩阵乘法满足结合律，即$(AB)C=A(BC)$。

证明：设最后得到的结果为$D,AB=E,BC=F$。

左边：

$$D_{i,j}=\sum E_{i,k}C_{k,j}\\ =\sum (\sum A_{i,l}B_{l,k})C_{k,j}\\ =\sum A_{i,l}B_{l,k}C_{k,j}$$

右边：

$$D_{i,j}=\sum A_{i,l} F_{l,j}\\ =\sum A_{i,l}(\sum B_{l,k}C_{k,j})\\ =\sum A_{i,l}B_{l,k}C_{k,j}$$

所以矩阵乘法满足结合律。

同时还可以看出，矩阵乘法一般不满足交换律。

分配律

矩阵乘法对矩阵加法满足分配律，即$A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA$，注意矩阵的左右顺序不能够改变。

证明：设得到的矩阵为$D$

左边：

$$D_{i,j}=\sum A_{i,k}(B_{k,j}+C_{k,j})\\ =\sum A_{i,k}B_{k,j} + \sum A_{i,k}C_{k,j}$$

右边：

$$D_{i,j}=\sum A_{i,k}B_{k,j} + \sum A_{i,k}C_{k,j}$$

因此矩阵乘法对加法满足分配律。