Bell数的指数生成函数

我们有$Bell$数的递推式：

$$b_{n+1} = \sum_{j=0}^n {n\choose j}b_j \\ =\sum_{j=0}^n {n!\over (n-j)!} {b_j \over j!}$$

设$B(x)$为它的指数生成函数，也就是$B(x) = \sum_{i=0}^{\infty} {b_i\over i!}x ^i $。

考虑

$${b_{n+1}\over (n+1)!} = {1\over n+1} \sum_{j=0}^n {1\over (n-j)!}{b_j\over j!}$$

右边的式子相当于$B(x)$和$e^x$卷积，然后整体乘了个$x$并且在每一项的前面除以了这一项的次数加一。这相当于是积分。

于是我们对式子两边同时求导，就得到了

$$B'(x)= B(x)e^x$$

考虑

$$\ln'(B(x)) ={B'(x)\over B(x)} = e^x$$

两边同时积分可得

$$\ln(B(x)) = e^x +C$$

考虑如何解出这个$C$。把$b_0=1$带入，得到$\ln(1) = e^{0} + C$，故而$C=-1$，因此我们有$\ln(B(x)) = e^x-1$，也就是$B(x)= e^{e^x-1}$。

因此，贝尔数的指数生成函数是$e^{e^x-1}$。